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【LEETCODE-300】最长增加子序列问题

问题描述:

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.

For example,
Given [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18],
The longest increasing subsequence is [2, 3, 7, 101], therefore the length is 4. Note that there may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length.

Your algorithm should run in O(n2) complexity.

Follow up: Could you improve it to O(n log n) time complexity?

给定一个不规则的整数数组,找出最长的增加的子序列
比如给定数组为[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18],最长增加子序列为 [2, 3, 7, 101,因此这个长度是4.这里所说的子序列,要求是值是一直在增加的。这时候可能会有多种方案,但是我们需要的只是这个子序列的长度值。

算法的复杂度in O(n2)。

分析:遍历

来看一下使用Java实现的代码:

public class Solution {  
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {  
        //[10, 2, 5, 3, 7],  
        if(nums==null || nums.length<1) return 0;  

        int [] d = new int[nums.length];  //动态规划中的数组,默认的长度是nums这个原数组的长度。
        d[0] = 1;        
        int max = 1;  
        for(int i=1; i<nums.length; i++) {  
            d[i] = 1;    
            for(int j=0; j<i; j++) {  
                if(nums[i] > nums[j]) {  
                    d[i] = Math.max(d[i], d[j]+1);  
                }  
            }  
            max = Math.max(max, d[i]);  
        }  
        return max;  
    }  
}  

看网络上对这道题的分析,说是一道动态规划的问题。

An easy dynamic programming problem.

Given array arr, we can define another array dp, dp[i] means the length of longest increasing subsequence when the last item is arr[i]. How to get dp[i]? We can get it by enumerating from index=0 to index=i-1(for instance j), and check the value of arr[j] and arr[i], if arr[i] > arr[j], then dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1).

The algorithm above runs in O(n2) complexity, how to improve it to O(n log n) time complexity? Use binary search, see the code in detail. My runtime beats 100.00% of javascript submissions.

我最初写的js代码:

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var lengthOfLIS = function(nums) {
    var j=1;
    var length=0;
    var newArray=[0,0];
    for(var m=2;m<nums.length;m++)  //这是一个外嵌套
    {
    for(var i=m;i<nums.length;i++)
    {
        if(nums[i]<nums[i+j])
        {
            newArray[i]=nums[i];
            newArray[i+j]=nums[i+j];

        }

        else{
            j++;
            i--;

        }

    }
     for(var k= 0 ;k<newArray.length;k++)
 {
             if(newArray[k] === "" || typeof(newArray[k]) === "undefined")
             {
                      newArray.splice(k,1);
                      k= k-1;

             }

 }

     if(length<newArray.length)
     {
         length=newArray.length;
         return newArray;
     }
    }


};

在学习「动态规划」的过程中,也了解到什么是动态规划?动态规划的意义是什么?

原来的英文解释稀里糊涂,在这个知乎回答中看到了对问题的重新解释:

  • 给定一个数列,长度为N,
    • 设F_{k}为:以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度.
  • 求F{1}..F{N} 中的最大值.

显然,这个新问题与原问题等价。
而对于F{k}来讲,F{1} .. F{k-1}都是F{k}的子问题:因为以第k项结尾的最长递增子序列(下称LIS),包含着以第1..k-1中某项结尾的LIS。

这里解释一下,比如原序列为[1,3,2,5,7,4],这里如果取k=5的话,这个时候N=6,代入进来看。给定的序列长度为6,F{k}即为F{5}=4,这个子序列就是[1,3,5,7],注意这个时候以第5项结尾(也就是以7结尾)的最长子序列是一个范围更大的序列,他也一定包含着小序列。当取k=4的时候,这个时候最长子序列为[1,3,5],而这个[1,3,5]是属于[1,3,5,7]这个序列的。

这个时候问题就可以转化了(数学上说的状态转移方程):

以第k项结尾的LIS的长度是:保证第i项比第k项小的情况下,以第i项结尾的LIS长度加一的最大值,取遍i的所有值(i小于k)。
这个时候,就需要用到递归了。

经过这样的理解之后,我自己又看了前面提到的Java版本的程序,写出了下面的程序:

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var lengthOfLIS = function(nums) {

    if(nums===null||nums.length<1)
    {
        return 0;
    }



    var dp=[];
    dp[0]=1;

    for(var i=1;i<nums.length;i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(var j=0;j<i;j++)
        {
        if(nums[j]<nums[i])
        {   

            dp[i]=Math.max(dp[j]+1,dp[i]);  //比较
        }
        }
    }
    var max=1;
    for(var k=0;k<dp.length;k++)
    {
        if(max<dp[k])
        {
            max=dp[k];
        }
    }
    return max;
};

上面的程序,总体设计思路是与前面的Java版本相同的,也是状态转移方程的思路。

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